Kepuhdoko - Pada tanggal 2 Desember 2023, diadakan Final Kompetisi Matematika (KOMET) Tingkat SLTP/Sederajat 2023 Se Kabupaten Jombang di SMK Darul Ulum Kepuhdoko. Acara ini menjadi kesempatan penting bagi peserta untuk meningkatkan kemampuan berpikir logis, analitis, dan penerapan konsep matematika dalam memecahkan masalah. Seluruh peserta menunjukkan kemampuan yang luar biasa dalam menyelesaikan berbagai soal matematika yang menantang. Berikut adalah pembahasan soal nomor 1-10 dari soal babak final KOMET 2023.

Soal Nomor 1

Hasil dari $frac{1}{3}+frac{1}{8} imesfrac{1}{2}divfrac{1}{5}-frac{1}{4} imesleft(frac{1}{3}-frac{1}{2} ight)=...$

Solusi:

$frac{1}{3}+frac{1}{8} imesfrac{1}{2}divfrac{1}{5}-frac{1}{4} imesleft(frac{1}{3}-frac{1}{2} ight)=frac{1}{3}+frac{1}{16} imesfrac{5}{1}-frac{1}{4} imesleft(-frac{1}{6} ight)$

$=frac{1}{3}+frac{5}{16}+frac{1}{24}$

$=frac{16}{48}+frac{15}{48}+frac{2}{48}$

$=frac{33}{48}=frac{11}{16}$

Jadi, $frac{1}{3}+frac{1}{8} imesfrac{1}{2}divfrac{1}{5}-frac{1}{4} imesleft(frac{1}{3}-frac{1}{2} ight)=frac{11}{16}$

Soal Nomor 2

Angka yang terdiri dari tiga belas digit, 202320222021U, dapat habis dibagi oleh 9 tetapi tidak habis dibagi oleh 5. Berapakah sisa pembagian angka ini oleh 8?

Solusi:
Teori yang digunakan:

• Suatu bilangan N habis dibagi 9 bila jumlah angka-angka pada bilangan N habis dibagi 9
• Suatu bilangan N habis dibagi 5 bila satuan dari bilangan N adalah 0 atau 5
• Suatu bilangan N habis dibagi $2^n$ bila n digit terakhir dari bilangan N habis dibagi $2^n$

Jumlah angka pada bilangan 202320222021U adalah 2 + 0 + 2 + 3 + 2 + 0 + 2 + 2 + 2 + 0 + 2 + 1 + U = 18 + U. Karena bilangan tersebut habis dibagi 9, maka nilai U yang mungkin adalah 0 atau 9. Selain itu, karena bilangan tersebut tidak habis dibagi 5, maka nilai U pasti 9. Sehingga, bilangan tersebut adalah 2023202220219.

Karena 8 = $2^3$, untuk menentukan sisa pembagian 2023202220219 dengan 8, kita dapat menentukan sisa dari 3 digit terakhirnya dibagi 8, yaitu 219/8 dengan sisanya 3.

Jadi, sisa 2023202220219 dibagi 8 adalah 3.

Soal Nomor 3

Sahrul memiliki mobil yang dapat menempuh 12 km dengan menggunakan 1 liter bensin. Tangki bensin mobilnya dapat menampung 30 liter ketika penuh. Suatu hari, Sahrul memulai perjalanan dengan tangki bensin penuh. Setelah menempuh jarak 300 km, Sahrul membeli 24 liter bensin, dan melanjutkan perjalanan ke tujuannya. Ketika ia tiba, tangki bensinnya setengah penuh. Berapa kilometer Sahrul mengemudi pada hari itu?

Solusi:

Mobil dapat menempuh 12 kilometer dengan 1 liter bensin. Saat berangkat, tangki penuh (30 liter). Selama perjalanan, ditambah 24 liter bensin. Setelah sampai, sisa bensin 15 liter.

Total bensin yang digunakan = 30 (awal) + 24 (tambahan) - 15 (sisa) = 39 liter.

Jadi, jarak tempuh mobil = 39 liter x 12 km/liter = 468 km.

Soal Nomor 4

Dua wadah yang berukuran sama berisi penuh dengan campuran cairan A dan cairan B. Rasio kandungan cairan A dan cairan B pada wadah pertama adalah 2 : 7 dan pada wadah kedua adalah 3 : 5. Jika isi kedua wadah tersebut dicampurkan, maka rasio kandungan cairan A dan cairan B hasil campurannya adalah ....

Solusi:

Diberikan wadah1 dengan volume total V dan perbandingan $V_{1a}: V_{1b}=2:7$. Sehingga, volumenya dapat diuraikan sebagai berikut:
$V_{1a}=frac{2V}{9}$
$V_{1b}=frac{7V}{9}$

Diberikan wadah2 dengan volume total V dan perbandingan $V_{2a}: V_{2b}=3:5$. Sehingga, volumenya dapat diuraikan sebagai berikut:
$V_{2a}=frac{3V}{8}$
$V_{2b}=frac{5V}{8}$

Ketika kedua wadah tersebut digabung (wadah1 + wadah2), maka volumenya dapat dihitung sebagai berikut:

$V_a=V_{1a}+V_{2a}=frac{2V}{9}+frac{3V}{8}=frac{43V}{72}$

$V_b=V_{1b}+V_{2b}=frac{7V}{9}+frac{5V}{8}=frac{101V}{72}$

Sehingga, perbandingan volume total $V_a:V_b$  dalam wadah1 + wadah2 adalah $frac{frac{43V}{72}}{frac{101V}{72}}$ .
Jadi, perbandingan volume total $V_a:V_b$  dalam wadah1 + wadah2 adalah 43:101

Soal Nomor 5

Hasil dari $frac{20232022^2}{20232021^2+20232023^2-2}$  adalah....

Solusi:

Misalkan $p=20232022$, maka ekspresi di atas dapat diubah menjadi: 

$frac{{20232022}^2}{{20232021}^2+{20232023}^2-2}=frac{p^2}{left(p+1 ight)^2+left(p-1 ight)^2-2}$

$=frac{p^2}{p^2+2p+1+p^2-2p+1-2}$

$=frac{p^2}{{2p}^2}=frac{1}{2}$

Jadi, hasil dari ekspresi tersebut adalah $frac{1}{2}$

Soal Nomor 6

Jika $fleft(x+y ight)=x+fleft(y ight)$ dan $fleft(0 ight)=3$  maka nilai $fleft(2023 ight)$adalah....

Solusi:

Dengan mengambil $x=2023$ dan $y=0$, kita dapat menyusun persamaan:

$fleft(x+y ight)=x+fleft(y ight)$
 $fleft(2023+0 ight)=2023+fleft(0 ight)$
$fleft(2023 ight)=2023+3$
$fleft(2023 ight)=2026$

Jadi, hasil $f\left(2023\right)=2026$

Soal Nomor 7

Diketahui sistem persamaan sebagai berikut.

$left{egin{matrix} a+b+c=2 a+b+d=5 a+c+d=8 b+c+d=15 end{matrix} ight.$

$a+2b+3c+4d=?$

Solusi:

Diketahui:
$left{egin{matrix} a+b+c=2 ....(1) a+b+d=5....(2) a+c+d=8....(3) b+c+d=15...(4) end{matrix} ight.$

Dengan cara menjumlahkan keempat persamaan tersebut, kita dapatkan:

$3a+3b+3c+3d=30$

$3(a+b+c+d)=30$

$a + b + c + d = 10$ .....(5)

Dengan cara mengurangkan :

• persamaan (5) dengan (1), kita dapatkan: $d=10-2=8$
• persamaan (5) dengan (2), kita dapatkan:  $c=10-5=\mathrm{}$5
• persamaan (5) dengan (3), kita dapatkan:  $b=10-8=\mathrm{}$2
• persamaan (5) dengan (4), kita dapatkan:  $a = 10 - 15 = -5$

Sehingga nilai $a + 2 b + 3 c + 4 d=-5+2(2)+3(5)+4(8)$ = 46

Jadi, nilai $a + 2 b + 3 c + 4 d = 46$

Soal Nomor 8

Pada acara pameran sekolah, siswa-siswa diundang untuk memamerkan produk kreatif mereka. Tersedia beberapa stan pameran yang kosong. Jika setiap stan diisi oleh tiga siswa, maka akan ada enam siswa yang tidak mendapat stan. Namun, jika setiap stan diisi oleh empat siswa, maka akan tersisa tiga stan yang tidak terisi. Berapa jumlah siswa yang akan memamerkan produk kreatif mereka dalam acara pameran tersebut?

Solusi:

Misalkan x adalah banyaknya siswa dan n adalah banyaknya stan. Dengan informasi dari soal, kita dapat membuat persamaan:

$x = 3n + 6 .....(1)$
$x = 4(n - 3)....(2)$

Dari persamaan (1) dan (2), kita dapat menyamakan kedua persamaan untuk menemukan nilai n:

$4(n - 3) = 3n + 6$
$4n - 12 = 3n + 6$
$4n - 3n = 6 + 12$
$n = 18$

Setelah menemukan nilai n = 18, kita substitusi kembali nilai n ke persamaan (1) untuk mencari nilai x:

$x = 3(18) + 6$
$x = 54 + 6$
$x = 60$

Jadi, banyaknya siswa yang memamerkan produk kreatif mereka adalah 60 siswa.

Soal Nomor 9

Urutan Bilangan-bilangan $2^{5555}, 5^{2222}$ dan $3^{3333}$ dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah ....

Solusi:

Bilangan-bilangan $2^{5555}$, $5^{2222}$ dan $3^{3333}$ dapat diuraikan sebagai berikut:

$2^{5555}=2^{5 imes(1111)}=left(2^5 ight)^{1111}={32}^{1111}$

$5^{2222}=5^{2 imes(1111)}=left(5^2 ight)^{1111}={25}^{1111}$

$3^{3333}=3^{3 imes(1111)}=left(3^3 ight)^{1111}={27}^{1111}$

Untuk membandingkan bilangan berpangkat dengan pangkat yang sama, kita dapat langsung membandingkan bilangan pokoknya. Dalam hal ini, karena $25 < 27 < 32$, maka urutan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah $5^{2222}$, $3^{3333}$, $2^{5555}$.

Soal Nomor 10

Perhatikan gambar berikut.

Nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h  = ....

Solusi:

Jumlah besar sudut dalam suatu bangun datar dengan n sisi dapat dihitung dengan rumus $(n−2)×180^o$.

Diketahui bahwa pada bangun datar tersebut terdapat 8 sisi, sehingga, jumlah besar sudut di dalam bangun datar tersebut adalah $(8-2)×180^o = 6 × 180^o = 1080^o$.

Jadi, nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h  = 1080.