Kepuhdoko - Pada tanggal 2 Desember 2023, diadakan Final Kompetisi Matematika (KOMET) Tingkat SLTP/Sederajat 2023 Se Kabupaten Jombang di SMK Darul Ulum Kepuhdoko. Acara ini menjadi kesempatan penting bagi peserta untuk meningkatkan kemampuan berpikir logis, analitis, dan penerapan konsep matematika dalam memecahkan masalah. Seluruh peserta menunjukkan kemampuan yang luar biasa dalam menyelesaikan berbagai soal matematika yang menantang. Berikut adalah pembahasan soal nomor 11-15 dari soal babak final KOMET 2023.

Soal Nomor 11

Persegi panjang ABCD terletak di dalam setengah lingkaran dengan diameter FE, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Misalkan DA=16 dan FD=AE=9. Berapakah luas persegi panjang ABCD?

Solusi:

Pertama, kita lambangkan pusat lingkaran dengan huruf O. Sehingga dapat ditentukan panjang OA = 8, dan  AE = 9. Jari-jari lingkaran, yang dapat dilambangkan dengan OB atau OE, dapat dihitung sebagai berikut:

$OB = OA + AE = 8 + 9 = 17$

Selanjutnya, kita tahu bahwa segitiga AOB adalah segitiga siku-siku, sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras pada segitiga AOB, kita dapat menghitung panjang sisi AB:

$AB = sqrt{OB^2 - OA^2}$

Substitusi nilai:

$AB = sqrt{17^2 - 8^2}$

$AB = sqrt{289 - 64}$

$AB = sqrt{225}$

$AB = 15$

Sekarang kita tahu bahwa panjang sisi AB = 15, dan panjang sisi AD = 16. Sehingga luas persegi panjang ABCD adalah:

$ext{Luas} = AD imes AB = 16 imes 15 = 240$

Jadi, luas persegi panjang ABCD adalah 240 satuan luas.

Soal Nomor 12

Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari 3 cm dan tinggi 20 cm, serta sebuah kerucut padat dengan jari-jari dan tinggi yang sama dengan tabung. Kerucut dipotong setengah dari tinggi tabung secara sejajar dengan alasnya. Jika bagian bawah kerucut yang terpotong dimasukkan ke dalam tabung, maka volume ruang di dalam tabung dan di luar kerucut terpotong (seperti yang terlihat pada gambar) adalah .....

Petunjuk: Hasil akhir disajikan dalam bentuk π (pi) dan $cm^3$ (sentimeter kubik)

Solusi:

Berdasarkan gambar di atas, kita dapat mendefinisikan tiga bangun ruang sebagai berikut:

• Tabung: Jari-jari $R = 3$ cm, Tinggi $H = 20$ cm.
• Kerucut Besar: Jari-jari  $R = 3$  cm, Tinggi $H = 20$ cm.
• Kerucut Kecil : Jari-jari $r$, Tinggi $h = 10$ cm.

Dengan menggunakan konsep kesebangunan, dapat kita hitung r  dengan persamaan:
$$$frac{r}{10} = frac{3}{20}$

$r = frac{3}{20} imes 10 = frac{3}{2}$ cm

Menghitung Volume Kerucut Terpotong

$V_{kerucut.terpotong} = V_{kerucut.besar} – V_{kerucut.kecil}$

${}_{}$$= frac{1}{3}pi R^2H-frac{1}{3}pi r^2h$
$V_{ ext{kerucut terpancung}} = frac{1}{3} pi (3)^2 (20) - frac{1}{3} pi left(frac{3}{2} ight)^2 (10)$

$=\frac{1}{3}\pi \left(9\right)20-\frac{1}{3}\pi \left(\frac{9}{4}\right)10$

$=60pi-7,5pi =52,5pi ext{ cm}^3$

Menghitung Volume Tabung

$V_{ ext{tabung}} = pi R^2 H$

$V_{ ext{tabung}} = pi (3)^2 (20)$

$= 180pi$ $ext{cm}^3$

Menghitung Volume Ruang di dalam Tabung dan di luar Kerucut Terpotong 

$V_{ ext{ruang terpotong}} = V_{ ext{tabung}} - V_{ ext{kerucut terpancung}}$$$

${}_{}$$= 180pi-52,5pi=127,5pi$$$

Jadi, volume ruang di dalam tabung dan di luar kerucut terpotong adalah $= 127,5pi$ cm³.

Soal Nomor 13

Nilai 25 siswa disajikan pada diagram batang berikut ini.
 
Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai yang diperoleh lebih dari nilai rata-rata ditambah $frac{1}{4}$ . Berapa banyak siswa yang lulus?

Solusi:

Menghitung rata-rata

$ext{Rata-rata} = frac{(4 imes 1 + 5 imes 3 + 6 imes 6 + 7 imes 7 + 8 imes 5 + 9 imes 2 + 10 imes 1)}{1+3+6+7+5+2+1}$

$= frac{4 + 15 + 36 + 49 + 40 + 18 + 10}{25}$

$= frac{172}{25}$

$= 6,88$

Menghitung batas lulus

$ext{Batas Lulus} = 6,88 + frac{1}{4} = 7,13$

Siswa yang lulus adalah yang mendapatkan nilai di atas batas lulus, yaitu siswa yang mendapatkan nilai 8, 9, dan 10. Oleh karena itu, banyaknya siswa yang lulus adalah 5+2+1=8 siswa.

Soal Nomor 14

Dalam sebuah kelompok berisi lima orang yang akan pergi ke acara sekolah dengan mobil berkapasitas enam tempat duduk, di mana dua di depan termasuk sopir, dua di tengah, dan dua di belakang. Hanya ada dua orang di kelompok tersebut yang memiliki SIM untuk mengemudi. Berapa banyak cara yang mungkin untuk mengatur tempat duduk mereka?

Solusi:

Dalam masalah ini, kita dapat menggunakan prinsip perkalian untuk menentukan banyak cara yang mungkin untuk mengatur tempat duduk mereka.

• Ada 2 orang yang memiliki SIM untuk mengemudi, sehingga ada 2 pilihan untuk kursi sopir.
• Setelah kursi sopir terisi, ada 5 orang yang tersisa dan 5 kursi yang harus diisi.
• Pada tahap ini, setiap orang memilih kursinya masing-masing, sehingga pada kursi 1 ada 5 pilihan, kursi 2 ada 4 pilihan, kursi 3 ada 3 pilihan, kursi 4 ada 2 pilihan, dan kursi 5 ada 1 pilihan.

Maka, banyak cara yang mungkin untuk mengatur tempat duduk mereka adalah 
2×5×4×3×2×1=240 cara.

Jadi, terdapat 240 cara yang berbeda untuk mengatur tempat duduk kelompok tersebut

Soal Nomor 15

Jamal memiliki laci yang berisi 6 kaos kaki berwarna hijau, 18 kaos kaki berwarna ungu, dan 12 kaos kaki berwarna orange. Setelah menambahkan lebih banyak kaos kaki ungu, Jamal menyadari bahwa sekarang ada peluang 60% bahwa sebuah kaos kaki yang dipilih secara acak dari laci tersebut berwarna ungu. Berapa banyak kaos kaki ungu yang ditambahkan oleh Jamal?

Solusi:

Misalkan x = banyaknya kaos kaki ungu yang ditambahkan oleh Jamal. Sebelum penambahan, banyak kaos kaki ungu adalah 18. Setelah menambahkan x kaos kaki ungu, banyak kaos kaki ungu menjadi 18 +x.

Peluang memilih kaos kaki ungu secara acak setelah penambahan adalah 60%, atau  $frac{3}{5}$. Sehingga dapat disusun persamaan sebagai berikut:

$frac{18 + x}{6 + 18 + 12 + x} = frac{3}{5}$

$frac{18 + x}{36 + x} = frac{3}{5}$

$90+5x=108+3x$

$5x-3x=108-90$

$2x=18$

$x=9$

Jadi, banyak kaos kaki ungu yang ditambahkan oleh Jamal adalah 9.